Харківська вечірня школа № 37: Застосування прикладних задач та міжпредметних зв’язків для активізації пізнавальної діяльності учнів на уроках математики

Харківська вечірня школа № 37

Харківської міської ради

Харківської області

Застосування

прикладних задач та міжпредметних зв’язків

для активізації пізнавальної діяльності учнів

на уроках математики

Заступник директора

з навчально-виховної роботи,

учитель математики ХВШ № 37 Манцуровська Ніна Федорівна

ЗМІСТ

Вступ	3
Прикладна спрямованість навчання математики	4
Міжпредметні зв’язки	9
Висновки	14
Задачі	15
Література	27

ВСТУП

Кожен учитель математики багато разів чув на своїх уроках фразу: «А навіщо мені математика?», « Це в житті не знадобиться». Уроки математики не завжди дають відповіді на це питання. У сучасній школі учні ні вміють застосовувати отримані знання в нестандартних ситуаціях, не вміють привести приклади математичних моделей. Випускники шкіл не завжди справляються с завданнями, які перевіряють математичну компетентність. За відсутністю стійкої мотивації вивчення шкільних дисциплін втрачається інтерес до навчання в цілому. В методичній літературі, у пояснювальних записках до навчальних програм говориться про необхідність розвивати логічне мислення учнів, створювати розвивальне середовище. Однак нерідко це йде стихійно, тому більшість учнів, навіть старшокласників, не опановує початковими прийомами логічного мислення (аналіз, порівняння, синтез, абстрагування й ін.) Зміст математичної освіти дуже часто відірваний від життя. Необхідно постійно вирішувати проблему зближення шкільних методів рішення задач з методами, які застосовуються на практиці, розкривати виховну функцію прикладної математики, посилити міжпредметні зв’язки. Роль математики в розвитку логічного мислення винятково велика, це найбільш теоретична наука з усіх досліджуваних у школі, у ній найбільш природним способом викладання знань є спосіб переходу від абстрактного до конкретного.

Математичні знання і навички необхідні не тільки в професіях, які пов’язані з природничими науками, технікою, економікою, але і в управлінні, медицині, юриспруденції, лінгвістиці. Тому потрібне посилення прикладної спрямованості шкільного курсу математики, яке припускає орієнтацію його змісту й методів на зв’язок з життям, іншими науками, на підготовку учнів до використання математичних знань в майбутній професійній діяльності.

Математика – це не тільки самостійна наука, це мова інших наук, мова єдина, універсальна, точна, проста і красива. Завдання кожного вчителя – докласти максимум зусиль, щоб учень зрозумів всю красу та привабливість цього предмета, відчув власні сили й закохався в математику по-справжньому.

ПРИКЛАДНА СПРЯМОВАНІСТЬ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

«Математиці дόлжно вчити в школі

ще з тією метою, щоб пізнання

тут придбані, були достатніми

для звичайних потреб в житті. »

Під прикладною спрямованістю навчання математики традиційно розуміють орієнтацію змісту і методів навчання на застосування математики для рішення задач, які виникають поза математикою: в фізиці, хімії, географії, кресленні, трудовому навчанні, забезпечення комп’ютерної грамотності, формування математичного стилю мислення та діяльності. Майже такий зміст, у визначення математичної компетентності. Предметна математична компетентність – це особистісне утворення, що характеризує здатність учня (учениці) створювати математичні моделі процесів навколишнього світу, застосовувати досвід математичної діяльності під час розв'язування навчально-пізнавальних і практично зорієнтованих задач.

Прикладна та практична спрямованість пов’язані в навчально-виховному процесі. Метою сучасного виховання, як наголошено в Основних орієнтирах виховання, є формування морально-духовної життєво компетентної особистості, яка успішно само реалізується в соціумі як громадянин, сім’янин, професіонал.

Зміст і структура ЗНО останніх років з математики містять завдання, які перевіряють можливість застосовувати отримані знання в практичній діяльності і повсякденному житті, вміння навчатися. Прикладні та логічні задачі, способи їх рішення ефективніше сприяють розвитку логічного мислення учнів та викликати інтерес до математики. Тому прикладна спрямованість у вивченні математики має практичну цінність для учнів. Це передбачає орієнтацію змісту і методів навчання на вивчення математичної теорії в процесі рішення задач, на формування у школярів стійких навичок самостійної діяльності, пов’язаних з виконанням тотожних перетворень ,обчислень, вимірювань, графічних робіт, використовуванням довідкової літератури, ІКТ, на виховання стійкого інтересу до предмету, здобуття універсально-трудових навичок планування та раціоналізації своєї діяльності.

І тут стає дуже важлива задача: розробка та підбір завдань для формування предметних компетенцій. Для цього існує два типа задач:

· Чисто математичні;

· Практико-орієнтовні.

Як показує досвід, у шкільному віці одним з ефективних способів

розвитку мислення є рішення школярами нестандартних, практичних, логічних задач. Це допомагає формувати у школярів систему знань, умінь і навичок, розвивати вміння осмислювати зміст понять та застосовувати здобуті знання на практиці, аналізувати результати, робити узагальнення, порівняння, висновки.

Задача з практичним змістом це задача, в якій розкриваються додатки математики з дійсності, яка оточує нас в інших дисциплінах, знайомить з її використанням в організації, технології та економіці сучасного виробництва, обслуговуванні, побуті, при виконанні трудових операцій, це задача, яка ставиться поза математикою та вирішується математичними засобами.

Основна робота для розвитку логічного мислення повинна вестися з задачею. Адже в будь-якій задачі закладені великі можливості для розвитку логічного мислення. Найбільший ефект може бути досягнуть у результаті застосування різних форм роботи над задачею.

1. Робота над вирішеною задачею.

2. Рішення задач різними способами.

3. Правильно організований спосіб аналізу задачі.

4. Уявлення ситуації, описаної в задачі. Моделювання ситуації за допомогою креслення, малюнка.

5. Самостійне складання задач учнями.

6. Рішення задач з відсутніми чи зайвими даними.

7. Зміна питання задачі.

8. Складання різних виражень за даними задачам і пояснення, що позначає те чи інше вираження.

9. Пояснення готового рішення задачі.

10. Використання прийому порівняння задач і їхніх рішень.

11. Порівняння двох рішень - одного вірного й іншого невірного.

12. Зміна умови задачі

13. Закінчити рішення задачі.

14. Яке питання і яка дія зайві в рішенні задачі

15. Складання аналогічної задачі зі зміненими даними.

16. Рішення зворотних задач.

Систематичне використання на уроках математики і позаурочних занять спеціальних задач і завдань, спрямованих на розвиток логічного мислення, організованих відповідно до приведеного вище схемі, розширює математичний кругозір школярів і дозволяє більш впевнено орієнтуватися в найпростіших закономірностях навколишньої їхньої дійсності й активніше використовувати математичні знання в повсякденному.

Важливим засобом досягнення прикладної та практичної спрямованості навчання математики є поступовий розвиток у школярів найбільш цінних для повсякденної діяльності навичок виконування обчислень та вимірювань, побудови та читання графіків, складання та застосування таблиць, збирання інформації. В зв’язку з цим доцільні обчислювальні практикуми, лабораторні роботи з вимірювання геометричних фігур, вимірювання на місцевості різними засобами, вимірювання відстані за допомогою скорості руху, завдання на конструювання та перетворення графіків. Робота з графіками функцій – дуже важливий елемент графічної культури, який знадобиться представникам багатьох професій. З метою усвідомлення ролі математики в житті, доцільно пропонувати учням прорахувати свій сімейний бюджет, ремонтні роботи своєї кімнаті, надати відповідні таблиці. Задачі з практичним змістом доцільно використовувати в процесі навчання з метою розкриття різноманітності використання математики в житті, відображення за її допомогою реального світу, досягнення дидактичних цілей:

· мотивація введення нових математичних понять і методів;

· ілюстрація навчального матеріалу;

· закріплення й поглиблення знань з предмету;

· формування практичних вмінь та навичок.

Учні с захватом спостерігають, як із практичної задачі виникає теоретична і як чисто теоретичній задачі надається практична форма. Цим творчим процесом можливо займатися і на уроках, і задавати його додому. Використання практичних задач дає педагогічний ефект і викликає інтерес в учнів тільки за умови, якщо задачі задовольняють наступним вимогам:

· задача кратко сформульована;

· математичний апарат, який використовується, не потребує багато часу;

· в змісті прикладної задачі повинні відображатися математичні та нематематичні проблеми та їх взаємозв’язок;

· задачі повинні відповідати програмі, вводитися в процес навчання як необхідний компонент, служити досягненню мети навчання;

· поняття і терміни, які вводяться в задачу, повинні бути відомі та доступними учням, легко визначені або інтуїтивно зрозумілі; зміст і вимоги задачі повинні «зближувати з реальною дійсністю»;

· засоби й методи рішення задачі повинні наближатися до практичних прийомів і методів;

· рішення задачі має важливе практичне значення;

· прикладна частина не повинна покривати математичну змістовність.

На уроках математики учень зосереджується не тільки на її абстрактної сутності, але й на змістовному матеріалі «текстових» задач:

1. Задачі на рух

2. Задачі на роботу і продуктивність праці

3. Задачі на змішування.

4. Відшукання невідомих чисел.

Вирішуються практичні завдання методом математичного моделювання. Мета вчителя – навчити учнів складати математичні моделі задач, аналізувати, розв’язувати їх різними способами та правильно інтерпретувати розв’язки, подолати у свідомості учнів уявлення про «сухість», формальний характер, відірваність цієї науки від життя і практики.

Прикладні задачі можливо використовувати з різною дидактичною метою, вони мають зацікавити або мотивувати, розвивати творчу розумову діяльність, логічне мислення, пояснювати співвідношення між математикою та іншими дисциплінами. Багато текстових задач в підручника неприродні з прикладної точки зору. Пошук і систематизація повчальних, достатньо простих задач, які формують елементарні навички застосування математики – дуже актуальна і складна проблема. Доцільно використовувати будь яку можливість для того, щоб продемонструвати, що абстрактна задача може бути необхідна в житті. У своїй педагогічній діяльності я використовую прикладні задачі з метою зацікавити учнів математикою, активізувати пізнавальну діяльність. Для цього я не беру дуже складні задачі – більшість моїх учнів вони не тільки не зацікавлюють, а, навпаки, ще більше відвернуть від навчання.

Математику учні дуже часто починають погано розуміти починаючи з 5-го класу. Саме тоді, коли після практичних задач початкової школи починаються більш «сухі» математичні завдання. Задачі практичного змісту переконують учнів у потребі вивчення теоретичного матеріалу і показують, що абстрактні задачі виникають із потреб життя. Спочатку учнів зацікавлює рішення окремих задач, потім вивчення окремих тем, а з часом, і вся наука. Одночасно учні набувають корисних навичок роботи з довідниками, знаходити необхідну інформацію в Інтернеті. Отже, такі задачі виконують освітню, розвиваючу і виховну функції.

МІЖПРЕДМЕТНІ ЗВ’ЯЗКИ

Важливим засобом, що забезпечую досягнення прикладної та практичної спрямованості навчання математики є застосування міжпредметних зв’язків, які обумовлюють поглиблене і розширене сприйняття учнями фактів, свідоме засвоєння теорії, формування цілісної картини природи. Це неможливо зробити на уроках однієї дисципліни. Застосування міжпредметних зв’язків допомагає учням знання, придбані при вивченні одних предметів, використовувати при вивченні інших предметів, у виробничій діяльності, у побуті.

Розглянемо три найбільш загальні напрямки міжпредметних зв’язків:
1. Комплексне вивчення різними науками одного й теж об'єкта.
2. Використання методів однієї науки для вивчення різних об'єктів в інших науках.
3. Залучення різними науками одних і тих же теорій і законів для вивчення різних об'єктів.

Зміст міжпредметних зв’язків не обмежується питаннями вивчення теорій, законів, понять, спільних для споріднених предметів. В основу класифікації міжпредметних зв’язків можна покласти дві ознаки:

1. знання;

2. види діяльності.

Перший вид міжпредметних зв’язків замикається всередині циклу споріднених предметів. Другий вид проявляється в такому вигляді, як єдність методів вивчення світу: аналіз і синтез, індукція та дедукція, порівняння, класифікація, узагальнення, абстрагування, конкретизація. Цей вид міжпред-метних зв’язків дає можливість об’єднати природничі і гуманітарні дисципліни, створює основу для формування уявлень про суть пізнання світу людиною.

Класифікація міжпредметних зв’язків

№ з/п	Форми	Типи	Види
1	За складом	Змістовні	За фактами, законами, методами наук
		Операційні	За формуванням навичок, умінь, розумових операцій
		Методичні	За методами, які використовуються
		Організаційні	За формами та способам організації навчально-виховного процесу
2	За направленням	Односторонні, двосторонні, багатосторонні	Прямі, зворотні, відновлювані
3	За часом	· Хронологічні · Хронометричні	1. Спадкоємні 2. Синхронні 3. Перспективні
3	За часом	· Хронологічні · Хронометричні	1. Локальні 2. Середньої дії 3. Довготривалі

Однойменні поняття, які вивчають математика і суміжні дисципліни

Поняття	Дисципліни
Вектор, похідна, первісна, наближені обчислення	математика, физика
кординати	математика, фізика, географія
рівняння	математика, фізика, хімія
функції, графіки	математика, фізика, географія, біологія
Площа, об’єм	алгебра і початки аналізу, геометрія, фізика

Потрібні певні зусилля щодо узгодження різних поглядів у питанні про ці поняття. Існують міжпредметні знання: загальні методи науки, способи розумових дій, логіка. Якщо їх повноцінно засвоїти на матеріалі одного навчального предмету, то учневі буде легше перенести засвоєні види діяльності на зміст інших дисциплін. Тому оволодіння методологічними знаннями та їх застосування на матеріалі різних видів знань у навчальних предметах забезпечують застосування знань, фактів, законів.

Математичні засоби вираження залежностей між величинами (формули, графіки, таблиці, рівняння, нерівності та їх системи) знаходять застосування при вивченні суміжних дисциплін.

Предмет	Питання програми	Математична складова
Фізика	Рівномірний рух, рівнозмінний рух	Прогресія, лінійна і квадратична функція
	Шлях при рівноприскореному русі, вільне падіння	Квадратні рівняння, графік квадратичної функції
	Закон додавання швидкостей. Рух.	Нерівності, алгебраїчні рівняння
	Швидкість, прискорення	похідна
Хімія	Задачі на розчини та сплави	Відсоткові розрахунки, пропорції
Хімія	Задачі на змішування розчинів	Відсоткові розрахунки, алгебраїчні рівняння
Географія	Приріст населення	Відсоткові розрахунки, прогресії,
Географія	Мапа, масштаб	Відношення, пропорції
Біологія	Розмноження живих організмів	Геометрична прогресія, показникові функція
Економіка	Продуктивність праці	Системи нелінійних рівнянь
	Собівартість	Нерівності, геометрична прогресія
	Заощадження	Відсоткові розрахунки, показникові функція

Цю таблицю можна продовжувати. Таке взаємне проникнення знань і методів у різні навчальні предмети відображає сучасні тенденції розвитку науки, створює сприятливі умови для формування наукового світогляду. Міжпредметні зв’язки полягають не тільки як зв’язки навчального матеріалу за змістом. Об'єкт математики - весь світ, і його вивчають всі інші науки. Найбільш глибокі зв’язки лежать не стільки в змісті фактичного матеріалу, скільки в характері розумової праці .

Зміст, обсяг, час і способи використання знань з інших предметів можна визначити за допомогою курсового планування, яке організовує активну пізнавальну діяльність учнів. При тематичному плануванні послідовно аналізуються міжпредметні зв’язки від однієї навчальної теми до іншої. Наявність курсового плану дозволяє вчителю заздалегідь вивчити необхідне для кожної наступної навчальної теми зміст суміжних курсів, вчасно дати учням домашні завдання на повторення опорних знань з інших предметів. При проблемному підході до курсового планування міжпредметних зв’язків виділяється загальна для всього курсу навчальна проблема, яка дозволяла систематизувати знання з різних предметів під кутом зору певної проблеми, наприклад, з метою розвитку провідних наукових понять.

Тематичне планування міжпредметних зв’язків зручно робити у

формі таблиці:

Дата уроку	Тема	Поняття й уміння	Міжпредметні зв’язки			Методи й прийоми навчання	Наочні посібники	Завдання з предмету та міжпредметні
			Суміжні поняття	Факти	Вміння

Завдяки такому плануванню можливо виділити основні напрями активізації пізнавальної діяльності учнів у процесі вивчення навчальної теми, в учителя створюється уявлення про те, які знання і з яких предметів учням необхідно повторити до кожного уроку, які поняття і знання з інших предметів слід залучити до розкриття основних понять теми і які ідеї завдяки цьому

будуть розвиватися в учнів.
Конкретизувати використання міжпредметних зв’язків в процесі навчання можна за допомогою поурочного планування. Поурочний план показує, на якому етапі уроку і як включаються знання з інших предметів у вивчення нового або закріплення навчального матеріалу.

Міжпредметний характер найчастіше носять уроки узагальнення або ввідні уроки. Міжпредметні зв’язки можуть включатися в урок яку вигляді фрагмента, окремого етапу уроку, на якому вирішується певна пізнавальна задача, яка вимагає залучення знань з інших предметів. Характерні риси таких поурочних розробок – це формулювання мети і завдань уроку з урахуванням міжпредметних зв’язків; формулювання конкретних питань до учнів, що вимагають відтворення та застосування знань з суміжних наук; визначення узагальнюючих фактів і законів математики і, найчастіше, фізики; включення в домашнє завдання питань між предметного змісту.

Залучення міжпредметних зв'язків підвищує науковість навчання, доступність, природним чином проникають на урок елементи цікавості. Однак з'являється і чимало труднощів: вчителю потрібно освоїти інші предмети, практична задача зазвичай вимагає більше часу, ніж теоретична, виникають питання ув'язки програм та інші. Доцільним стає використання ІТ та ІКТ, проведення інтегрованих уроків, звернення до історичних подій. Інтегровані уроки математики з іншими предметами володіють яскраво вираженою прикладної спрямованістю і викликають пізнавальний інтерес учнів. Звернення до історичних подій створюють емоційний підйом у класі.

Реалізація міжпредметних зв'язків у навчанні математики пов'язана з узгодженням трактування однойменних понять і часу їх вивчення в різних навчальних дисциплінах, а іноді суперечить послідовності програми з математики. Тому учителю при складанні плану важливо знати, що вже учні освоїли з необхідних опорних знань на уроках з інших предметів, погодити з учителями суміжних предметів постановку питань і завдань, щоб уникнути дублювання і досягти розвитку загальних ідей і понять, поглиблювати їх і збагачувати. Такі плани доцільно обговорювати на засіданнях методичного об’єднаннях учителів. Обговорення планів дозволяє усунути неточності у формулюванні питань, трактуванні понять суміжних курсів, визначити єдині підходи в поясненні сутності досліджуваних процесів і явищ, обрати найбільш раціональні методи навчання.

ВИСНОВКИ

Найважливішою задачею математичної освіти є озброєння учнів загальними прийомами мислення, просторової уяви, розвиток здатності розуміти зміст поставленої задачі, уміння логічно міркувати, засвоїти навички алгоритмічного мислення.

Кожному важливо навчитися аналізувати, відрізняти гіпотезу від факту, чітко виражати свої думки, а з іншого боку - розвити уяву й інтуїцію (просторове представлення, здатність передбачати результат і угадати шлях рішення). Саме математика надає сприятливі можливості для виховання волі, працьовитості , наполегливості в подоланні труднощів, завзятості в досягненні цілей. Сьогодні математика як жива наука з багатобічними зв'язками, що робить істотний вплив на розвиток інших наук і практики, є базою науково-технічного прогресу і важливим компонентом розвитку особистості.

Однієї з основних цілей вивчення математики є формування і розвиток мислення людини, насамперед, абстрактного мислення, здатності до абстрагування й уміння "працювати" з абстрактними, "невловимими" об'єктами. У процесі вивчення математики в найбільш чистому виді може бути сформоване логічне мислення, алгоритмічне мислення, багато якостей мислення - такі, як сила і гнучкість, конструктивність і критичність. Центром системи навчання математиці повинно бути не вивчення основ математичної науки як такий, а пізнання навколишнього людину світу засобами математики і, динамічної адаптації людини до цього світу, до соціалізації особистості.

Основною метою математичної освіти повинне бути розвиток уміння математично, а виходить, логічно й усвідомлено досліджувати явища реального світу. Реалізації цієї мети може і повинне сприяти рішення на уроках математики різного роду практичних і логічних задач. Тому використання вчителем школи цих задач на уроках математики є не тільки бажаним, але навіть необхідним елементом навчання математиці. В зв’язку з невеликою кількістю прикладних задач для старших класів , необхідно створювати банк задач для формування математичних компетентностей учнів.

ЗАДАЧІ

Тема: Тригонометричні функції

1. На скільки градусів потрібно повернути хвилинну стрілку, щоб перевести годинник на 24 хвилини: а) вперед; б) тому? (Годинник дозволяється переводити тільки за годинниковою стрілкою.)

Розв'язання: 1 хвилині відповідає 6º, 24 6º = 144º, (60-24) 6º = 216º.

Відповідь: 144º, 216º.

2. На скільки градусів потрібно повернути хвилинну стрілку, щоб перевести годинник на 12 хвилин: а) вперед; б) тому? (Годинник дозволяється переводити тільки за годинниковою стрілкою.)

Розв'язання: 1 хвилині відповідає 6º, а) 12

6º = 72º, б) (60-12)

6º = 288º.

Відповідь: 72º, 288º.

Тема: Показникова і логарифмічна функції

Банківські розрахунки

Формула складних відсотків

(формула складного процентного зростання)

Якщо початковий капітал, рівний S₀ вкладник поклав у банк під p % річних, то в кінці n -го року вкладник матиме суму

3. Скільки грошей отримає вкладник через 5 років, якщо він поклав на рахунок у банк 1500 грн. і жодного разу не братиме гроші з рахунку, а тим часом сума буде щорічно збільшуватися на 10%:

Розв'язання. За умовою

. Тоді

2415,77 грн.

Відповідь: 2415,77грн.

4. Нехай вкладник поклав у банк 10000 грн. під ставку 12% річних. Через скільки років його внесок подвоїться?

Розв'язання. B нашому випадку гроші на вкладі накопичуються за

формулою

. Нам необхідно знайти n, при якому

, т. е. вирішити рівняння

, 2=

Обчислимо цей логарифм, попередньо перейшовши до основи 10, користуючись калькулятором

= 6,11

Відповідь: подвоєння вкладу відбудеться трохи більше, ніж через 6 років.

Розрахунки у виробництві.

– первісна вартість устаткування,

– щорічний відсоток амортизації,

– вартість обладнання через t років.

Вартість обладнання цеху через t років може бути знайдена за формулою

5. Обчисліть вартість обладнання через 5 років, якщо його первісна вартість дорівнює 468 000 грн., А щорічний відсоток амортизації дорівнює 5,7%.

Розв'язання. Підставами задані величини в формулу

. Отримаємо

Відповідь:

6. Лісова ділянка містить 6500

деревини. Скільки буде деревина на ділянці через 5 років, якщо щорічний приріст лісу становить в середньому 2%?

7. Розв'язання. За формулою складних відсотків

Відповідь:

Географія

8. Населення міста зростає щорічно на 3%. Через скільки років населення цього міста збільшиться в 1,5 рази.

Розв'язання. Застосуємо формулу складних відсотків:

, де

- населення міста, А=1,5,

a – населення міста через x років, p=3, x – невідоме число років.

Відповідь: приблизно через 14 років.

9. Яка була чисельність населення міста 10 років тому назад, якщо в даний час в місті проживає 300 тис. чоловік, а щорічний приріст населення становить 3,5%?

Рішення. Чисельність населення змінюється за формулою

складних відсотків:

, де

- чисельність

населення 10 лет назад,

=300 тис. чоловік,

=3,5 , х = 10 років.

чоловік

Відповідь: 212675 чоловік.

Біологія

10. У початковий момент часу було 8 бактерій, через 2 год після приміщення бактерій в живильне середовище їх число зросло до 100. Через скільки часу з моменту поміщення в живильне середовище слід очікувати колонію в 500 бактерій?

Рішення.

, N - кількість бактерій в момент часу t,

- початкова кількість бактерій, k - постійна. 1

;

Відповідь: приблизно через 3,3 години.

Фізика

Т - період напіврозпаду радіоактивного речовини,

t - час, що минув з початку спостереження,

- маса речовини в початковий момент t = 0,

m - маса речовини після часу t.

Якщо t = T, то

- це маса залишається в результаті розпаду, маса становить половину початкової маси.

11. Перший міжнародний еталон радію був виготовлений Марією Кюрі в серпні 1911 і містив 16,74 мг чистого радію. Яка кількість радію містилося в цьому стандарті в 1991 р, якщо воно обчислюється за формулою

де

16,74 мг, Т = 1600 років і t - час, що минув після 1911р.?

Рішення.

Відповідь: 16,17 мг

12. Період напіврозпаду радіоактивного речовини дорівнює 2,5 год. Через який проміжок часу від 4 кг цієї речовини залишиться 0.5 кг?

Рішення.

Відповідь: через 7,5 год.

(Бажано показати учням як вирішити дану задачу без знання показовою функції та вміння вирішувати показові рівняння.)

Тема: Похідна, інтеграл та їх застосування.

Знаходження найбільшого і найменшого

значень функції на інтервалі

13. Для посадки цінних культур потрібно виділити ділянку прямокутної форми площа якого 5,76 га. Які розміри повинна мати ділянка, щоб витрати на будівлю огорожі навколо нього були найменшими? Якої форми має бути ділянка?

Відповідь: 2,4

2,4; квадрат.

14. Парканом довжиною 24 м потрібно обгородити з трьох сторін прямокутну ділянку найбільшої площі. Знайдіть розміри ділянки.

Відповідь: 8м × 8м.

15. Заводу доручено виготовити резервуари ємністю 4

, які мають форму правильної чотирикутної призми і відкриті зверху. При цьому внутрішня поверхня повинна бути покрита оловом. Якими слід вибрати розміри резервуара, щоб витратити найменшу кількість олова? (Товщиною стінок знехтувати.)

Відповідь: дно резервуара 2м × 2м, висота резервуара 1м.

Після вирішення подібних завдань важливо зробити висновок про те, якою повинна бути форма геометричної фігури, щоб при найменшому периметрі була найбільша площа.

Механічний зміст похідної та інтеграла

16. Точка рухається прямолінійно за законом x (t). Знайдіть її швидкість і прискорення в момент часу t (координата вимірюється в метрах, а час у секундах.)

а)

Рішення.

Відповідь:

б)

Відповідь:

в)

Відповідь:

г)

Відповідь:

д)

Відповідь:

17. Точка рухається по прямій так, що її швидкість у момент часу t дорівнює

Знайдіть шлях, пройдений точкою за час від 1 до 7 с, якщо швидкість вимірюється в метрах за секунду.

Рішення.

Відповідь: 22,8 м.

18. Точка рухається по прямій так, що її швидкість у момент часу t дорівнює

Знайдіть шлях, який пройшла точка за час від 10 до 20 с, якщо швидкість вимірюється в метрах за секунду.

Рішення.

Відповідь: 1200 м.

19. Точка рухається по прямій так, що її швидкість у момент часу t дорівнює

Знайдіть шлях, який пройшла точка за час від 3 до 10 с, якщо швидкість вимірюється в метрах за секунду.

Рішення.

Відповідь: 60,9 м.

Обчислення площ фігур за допомогою визначеного інтеграла

20. На малюнку показаний профіль річки.

Проміри її глибини зроблені через кожні 5 м.

Значення

(в метрах) вказані в наступній таблиці:


7,1	12,4	16,3	14,6	11,2	8,7	6,6	3,2

Визначте площу поперечного перерізу річки.

Рішення. Наближене значення площі знаходимо, обчислюючи відповідну інтегральну суму, де

Відповідь:

21. На малюнку показаний профіль річки.

Проміри її глибини зроблені через 1 м.

Значення

(в метрах) вказані в наступній таблиці:


3	4	3

Визначте площу поперечного перерізу річки.

Рішення. Вирішити це завдання бажано двома способами після вивчення формули Ньютона-Лейбніца.

І спосіб.

Профіль річки - це фігура, обмежена знизу графіком параболи

на відрізку [-2; 2], а зверху прямою y = 0. (Можливі й інші варіанти побудови математичної моделі даної задачі і їх можуть запропонувати учні).

Відповідь:

І І спосіб.

Наближене значення площі знаходимо, обчислюючи відповідну інтегральну суму, де

Відповідь:

Дане завдання демонструє те, що за допомогою інтегральних сум можна обчислювати площі, але за допомогою інтеграла площа обчислюється точніше.

а) З геометричних міркувань обчисліть інтеграл:

dx;

Рішення. Даний інтеграл дорівнює площі половини кола радіус якого R = 2.

Відповідь:.

б)

dx;

Рішення.

dx=

Відповідь:

в)

)dx;

Рішення. Даний інтеграл дорівнює площі половини кола радіус якого R = 2,

розташованого над прямокутником 3

)dx=

Відповідь:

12.

г)

)dx

Рішення.

)dx =

Відповідь:

Повторити: рівняння кола, площа круга, визначення функції, побудова

графіків функцій за допомогою геометричних перетворень. При вирішенні

завдань №№ 19-21 потрібно звернути учнів на те, що при обчисленні площ і об'ємів деяких фігур потрібно раціонально підходити до вибору способу вирішення: геометричним шляхом або за допомогою інтеграла.

Обчислення об'ємів фігур за допомогою визначеного інтеграла

22. Вивести за допомогою інтеграла формули для обчислення об'ємів циліндра, конуса, кулі.

23. За допомогою інтеграла обчисліть об'єм кулі, радіус якої дорівнює 2 м.

Відповідь:

м³.

Паралелепіпед. Призма

24. Цегла (25 см

12 см

6,5 см) важить 3,51 кг. Знайти її щільність. Відповідь: 1800 кг/м³.

25. Потрібно встановити резервуар для води ємністю 10

на площі розміром 2,5м

1,75 м, яка є для нього дном. Знайти висоту резервуара. Відповідь:

26. Металевий куб має зовнішнє ребро a = 10,2 см і важить 514,15 г. Товщина стінок b = 0,1 см. Знайдіть щільність метала, з котрого зроблений куб. Відповідь:

27. Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори з розрахунку три одиниці на 50 м³. Яку кількість одиниць радіаторів потрібно замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15 м

Відповідь: 405.

28. Кімната має форму прямокутного паралелепіпеда (ширина кімнати - 4 м, довжина - 5 м, висота - 2,5 м). Скільки фарби в кілограмах потрібно для того, щоб повністю пофарбувати стіни і стеля цієї кімнати, якщо на 1 м² витрачається 0,25 кг фарби.

Відповідь: 16,25 кг.

29. З 10 кг свинцю відливають куб. Знайти ребро куба. (Щільність свинцю 11400 кг / м³; угар до уваги не береться.)

Відповідь:

9,57 см

30. Обчислити максимальну пропускну здатність в кубічних метрах за 1годину водостічної труби, перетин якої зображено на малюнку. Швидкість течії води 2 м/с.

1,4 м 1,2 м

Відповідь: 6048 м³.

31. Чавунна труба має квадратний перетин, її зовнішня ширина 25 см, товщина стінок 3 см. Скільки важить погонний метр труби? (Щільність чавуну 7300

Відповідь: 192,72 кг.

32. Скільки треба призначити робітників, щоб великими лопатами закінчити за 6годин риття канави довжиною 25 м? Розміри в метрах поперечного перерізу канави вказані на кресленні. Великий лопатою викопують 0,75 м³ за годину.

1,0

0,6

0,7

Відповідь: 3 людини

33. Залізничний насип дано в розрізі; розміри вказані в метрах. Знайти, скільки кубічних метрів землі припадає на 1 км насипу.

3,2

Відповідь: 35200 м³.

Циліндр

34. Напівциліндричний звід підвалу має 6 м довжини і 5,8 м в діаметрі.

Визначити повну поверхню підвалу.

Відповідь:

116

35. Циліндрична димова труба з діаметром в 65 см має висоту в 18 м. Скільки квадратних метрів жерсті потрібно для її виготовлення, якщо на заклепку йде 10% всього потрібної кількості жерсті?

Відповідь:

40,43

36. При паровому опаленні низького тиску кількість тепла, яке дає 1м² поверхні нагрівання, приймається рівним 550 тепловим одиницям на годину. Скільки погонних метрів труб діаметром в 34 мм потрібно встановити в приміщенні, для опалення якого за розрахунками потрібно 4500 одиниць тепла на годину?

Відповідь:

77 м.

37. 1) З круглого листа металу виштампуваний циліндричний стакан діаметром в 25 см і висотою в 50 см. Припускаючи, що при штампуванні площа листа не змінилася, визначте діаметр листа.

Відповідь:

75 см.

2) До циліндричного стакану (див. попередню задачу) виштампувана кришка діаметром 25,2 см і висотою в 0,5 см. Знайти діаметр круглого листа, з котрого виштампувана кришка.

Відповідь:

26,2 см.

38. Циліндровий паровий котел має 0,7 м в діаметрі; довжина його дорівнює 3,8 м. Який тиск пари на повну поверхню котла, якщо на 1 см² пар тисне з силою 10 кг?

Відповідь:

912 кг/м².

Конус.

39. Конусоподібний намет висотою в 3,5м з діаметром основи 4 м покритий парусиною. З колько квадратних метрів пар усини пішло на намет.

Відповідь:

25,3 м²

40. Дах вежі має форму конуса. Висота даху 2 м. Діаметр башти 6м. Скільки листів покрівельного заліза потребувалось для покриття даху, якщо лист має розміри 0,7

104 (

і на шви пішло 10% потрібного заліза?

Відповідь:

38 листів.

41. Поверхня конічного шпиля вежі дорівнює 250

, діаметр основи 9 м. Знайти висоту шпиля.

Відповідь:

17,1 м.

42. Скільки фарби потрібно для фарбування 100 відер конічної форми, якщо діаметри відра 25 см і 30 см, а твірна 27,5 см і якщо на 1

потрібно 150 г фарби?

Відповідь:

4,3 кг.

Куля. Сфера

43. Радіус земної кулі R. Чому дорівнює довжина кола паралелі, якщо його широта дорівнює 60º?

Відповідь: πR.

44. Місто N знаходиться на 60º північної широти. Який шлях здійснює цей пункт за 1годину внаслідок обертання Землі навколо своєї осі? Радіус Землі прийняти рівним 6000 км.

Відповідь:

785 км.

45. Чавунні кулі важать кожна по 10 кг. Знайти діаметр кожного кулі, якщо щільність чавунця 7,2.

Відповідь:

14 см.

46. З дерев'яного циліндра, в якому висота дорівнює діаметру основи (рівносторонній циліндр), виточена найбільша кулю. Визначити, скільки відсотків матеріалу сточили.

Відповідь:

33,3 %

47. З куба виточений найбільший кулю. Скільки відсотків матеріалу сточивши.

Відповідь:

47,6%

ЛІТЕРАТУРА

1.	Н. Рыбкин. Сборник задач по геометри. Стереометрия. М.: Просвещение. – 1970.
2.	Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. М.: Просвещение. – 1990.
3.	Колягин Ю.М. и Пикан В.В. О прикладной и практической направленности обучения математике // Математика в школе. 1985.
4.	Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. М.: Наука, 1974.
5.	Смирнова М.А. Теоретичні основи міжпредметних зв'язків - М., 2006.
6.	Методика викладання математики в середніх школах. – Харків, 1990.
7.	osvita.pl.km.ua/~zosh6/content/TM/5.ppt
18.	http://pidruchniki/ws/pedagogika/

Харківська вечірня школа № 37

Страницы

Застосування прикладних задач та міжпредметних зв’язків для активізації пізнавальної діяльності учнів на уроках математики

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Обо мне